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正態(tài)分布計(jì)算器

正態(tài)分布計(jì)算器

專業(yè)在線正態(tài)分布計(jì)算器｜精準(zhǔn)計(jì)算概率密度函數(shù)(PDF)與累積分布函數(shù)(CDF)，支持Z值轉(zhuǎn)換與3σ區(qū)間概率。提供交互式正態(tài)分布圖與高斯分布公式解析，適用于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)、質(zhì)量管控與金融風(fēng)險(xiǎn)管理。
補(bǔ)充糾錯(cuò)
正態(tài)分布計(jì)算器技術(shù)文檔

▍高斯分布數(shù)學(xué)定義

連續(xù)型隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作：

X ～ N(μ, σ2)

其概率密度函數(shù)(PDF)為：

f(x) = (1/σ√(2π))e-(x-μ)2/(2σ2)

其中：

  • μ ∈ ? 為位置參數(shù)（期望值）
  • σ > 0 為尺度參數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差）
  • π ≈ 3.14159（圓周率）
  • e ≈ 2.71828（自然對(duì)數(shù)的底）

▍計(jì)算器核心功能

概率計(jì)算

  • P(X ≤ x?) 左尾概率
  • P(X ≥ x?) 右尾概率
  • P(x? ≤ X ≤ x?) 區(qū)間概率

統(tǒng)計(jì)參數(shù)

  • Z-Score標(biāo)準(zhǔn)化：Z = (X-μ)/σ
  • 分位數(shù)計(jì)算：Q(p) = μ + σΦ?1(p)
  • 標(biāo)準(zhǔn)差換算：σ = √(E[X2] - μ2)

▍分布特性定理

特性名稱 數(shù)學(xué)表達(dá)式 幾何解釋
對(duì)稱性 f(μ+x) = f(μ-x) 曲線關(guān)于x=μ對(duì)稱
拐點(diǎn)定理 x = μ ± σ 曲率方向改變點(diǎn)
3σ法則 P(μ-kσ ≤ X ≤ μ+kσ) k=1:68.27% k=2:95.45% k=3:99.73% 概率質(zhì)量分布

▍操作規(guī)范流程

①

參數(shù)輸入

  • μ ∈ [-1e6, 1e6]
  • σ > 0（精度1e-6）
  • X值支持科學(xué)計(jì)數(shù)法
②

計(jì)算執(zhí)行

  1. 解析輸入?yún)?shù)
  2. 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化Z值
  3. 調(diào)用ERF函數(shù)積分
  4. 返回累積概率
③

結(jié)果解讀

PDF值
概率密度函數(shù)值
CDF值
累積分布函數(shù)值
Z值
標(biāo)準(zhǔn)化后的標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)

▍工程應(yīng)用實(shí)例

質(zhì)量控制

計(jì)算工藝參數(shù)在μ±3σ范圍內(nèi)的概率：

P(μ-3σ ≤ X ≤ μ+3σ) = 99.73%

金融風(fēng)險(xiǎn)

VaR計(jì)算：在95%置信水平下：

VaR = μ + σΦ?1(0.05)