標準差（Standard Deviation） 是一組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)點與該組數(shù)據(jù)平均值之間差異的度量，常用來衡量數(shù)據(jù)的離散程度。

標準差的計算方法是先計算方差（Variance），然后取其平方根。方差是所有數(shù)據(jù)點與平均值的差的平方和的平均值。

1. 方差的計算公式：

方差（s²）的計算公式為：

s² = Σ(x_i - μ)² / (n - 1)

其中，

• x_i：數(shù)據(jù)集中的每個數(shù)據(jù)點。
• μ：數(shù)據(jù)集的平均值。
• n：數(shù)據(jù)集的元素數(shù)量。

2. 計算步驟：

計算方差的步驟如下：

1. 首先計算數(shù)據(jù)集的平均值（μ）。
2. 接著，計算每個數(shù)據(jù)點與平均值之間的差，并將其平方。
3. 然后，將所有平方差的結(jié)果相加。
4. 最后，除以數(shù)據(jù)集大小減1（n - 1），得到方差。

3. 標準差的計算：

標準差（s）等于方差（s²）的平方根，即：

s = √s²

標準差反映了數(shù)據(jù)的分散程度，值越大表示數(shù)據(jù)波動越大，值越小表示數(shù)據(jù)較為集中。

4. 示例：

假設(shè)有以下數(shù)據(jù)集：[3, 7, 8, 5, 12]

我們首先計算其平均值：

平均值 (μ) = (3 + 7 + 8 + 5 + 12) / 5 = 7

然后計算每個數(shù)據(jù)點與平均值的差的平方：

• (3 - 7)² = 16
• (7 - 7)² = 0
• (8 - 7)² = 1
• (5 - 7)² = 4
• (12 - 7)² = 25

平方差之和 = 16 + 0 + 1 + 4 + 25 = 46

方差 (s²) = 46 / (5 - 1) = 46 / 4 = 11.5

標準差 (s) = √11.5 ≈ 3.39

5. 方差與標準差的關(guān)系：

方差反映的是數(shù)據(jù)與平均值之間的波動程度，標準差則更直觀，因為它與原始數(shù)據(jù)的單位一致。因此，標準差通常用于數(shù)據(jù)的離散度衡量。

6. 常見術(shù)語解釋：

總和：數(shù)據(jù)集中所有數(shù)值的加和。

總數(shù)（n）：數(shù)據(jù)集中的數(shù)據(jù)點數(shù)量。

平方和：每個數(shù)據(jù)點與平均值的差的平方之和。

頻率：數(shù)據(jù)集中每個值出現(xiàn)的次數(shù)。

7. 注意事項：

• 計算方差時，使用的是 n - 1 而非 n，這是因為 n - 1 是對樣本方差的無偏估計。
• 方差和標準差的計算假設(shè)數(shù)據(jù)集是獨立的且來自同一分布。

通過理解和應(yīng)用這些概念，您將能夠更好地分析數(shù)據(jù)的波動情況，評估不同數(shù)據(jù)集的離散程度。